달랑베르의 역설과 해결 방법들

달랑베르의 역설과 해결 방법들

달랑베르의 역설(D'Alembert's paradox)은 1752년 프랑스 수학자 장 르 롱 달랑베르가 발견한 역설로, 비압축 오일러 방정식의 전위 해법의 형태로 어떤 형태의 물체의 항력이 0이라는 것을 증명하기 위해 만들어진 역설입니다. 이 결과는 공기나 물과 같은 레이놀즈 수(Reynolds number)가 높은 매우 작은 점도의 유체에서 상당한 항력이 있다는 여러 가지 많은 증거와는 정면으로 모순됩니다. 그래서 처음부터 수학 유체 역학은 엔지니어들에 의해 신용이 떨어졌고, 이것은 설명할 수 없는 현상을 관찰하는 유압학 분야와 관찰할 수 없는 현상을 설명하는 이론 유체 역학의 분열을 초래하기도 했습니다. 하지만 이런 달랑베르의 역설은 1904년 독일의 물리학자 루트비히 프란틀에 의해 해결된 것으로 여겨집니다. 루트비히 프란틀이 1904년 발표한 Motion of fluids with very little viscosity라는 짧은 보고서에 의하면 얇은 점성 경계층의 효과가 상당한 끌림의 원인이 될 수 있다고 합니다. 하지만 보고서를 읽어보면 프랜틀은 역설을 해결했다고 주장하지 않으며, 이러한 취지의 증거가 누락되었다는 것을 알 수 있습니다. 사실, 이 달랑베르의 역설을 해결할 수 있다고 주장하는 독창적인 연구를 찾기는 어려워 보입니다. 찾을 수 있는 것은 미끄럼 방지 경계 조건이 경계 근처 흐름의 지연인 트리핑을 유발하며, 이는 큰 각성과 함께 횡단하는 소용돌이의 생성 및 흐름의 분리로 이어질 수 있음을 시사하는 간접적인 정보입니다. 이러한 현상이 매우 작은 점도의 유체에서 실제로 발생한다는 증거는 프란틀의 보고서와 다른 곳에서는 누락되었습니다. 큰 효과를 갖는 사라져 가는 작은 원인의 형태로 프란틀이 가져온 해결책의 특성은 역설에 대한 해결책을 이론, 계산 또는 실험에 의해 검증하거나 반증하는 것을 어렵거나 심지어 불가능하게 만듭니다. 키스 스튜어츤이 1981년에 발표한 조사 논문인 D'Alembert's Paradox, Siam Review에서 키스 스튜어츤은 역설에 대한 명확한 해결책을 제시하지 않았지만 요약 부분에서 3차원, 그리고 아마도 안정적이지 않은 2차원 흐름에 대한 합리적인 이론의 발전은 초기 단계에 있을 것이라고 설명했습니다. 그리고 최근에 들어서야 달랑베르의 역설에 다음과 같은 대안적 해결이 제시되었습니다. 이는 2007년에 요한 호프만과 클라에스 존슨이 발표한 Computational Turbulent Incompressible Flow라는 보고에서 확인할 수 있는데, 오일러 방정식의 제로 드래그 퍼텐셜 솔루션이 실험에서 관찰되지 않는 이유는 이 솔루션이 분리에서 지수적으로 불안정하고 흐름상 저압 튜브에서 발생하는 드래그와 함께 난류 오일러 용액으로 발전하기 때문입니다. 이것은 프란틀의 해결책과는 완전히 다른 것으로 이론, 계산, 실험 모두에 의해 뒷받침됩니다. 수학자인 개럿 버코프는 1950년 저서 Hydrodynamics: A Study in Logic, Fact, and Similitude의 첫 장에서 달랑베르의 역설을 포함한 유체역학의 많은 역설들을 다루고 그들의 공식적인 결심에서 분명한 의심을 표현했었습니다. 그는 그것들을 모두 점성의 무시로 돌리는 것은 보증되지 않은 과잉 단순화라고 생각한다고 이야기했으며 근원은 물리학자와 공학자에 의해 중요성이 매우 일반적으로 최소화되는 정확한 연역적 엄격성의 부족에 더 깊이 놓여 있다고 말했습니다. 특히, 달랑베르의 역설에서, 개럿 버코프는 안정성 분석의 부족을 비판합니다. 잠재적인 해결책 유동 흐름의 개념은 결정적이지 않으며, 독립 변수로서 시간을 제거하기 위한 엄격한 정당성은 없습니다. 따라서 디리클레 흐름과 다른 안정적인 흐름이 수학적으로 가능하지만, 안정적인 흐름을 가정할 이유가 없다고 말합니다. 하지만 1951년 버코프의 책에 대한 그의 비평에서, 수학자 제임스 J. 스토커는 버코프의 책의 첫 장을 날카롭게 비평했습니다. 유체역학에 정통한 독자들에게 역설로 인용된 대부분의 사례들이 수정 이후 오랫동안 실수의 범주에 속하거나, 이론과 실험 사이의 불일치 범주에 속하는 등, 그 이유들 또한 잘 설명되고 있습니다.